Matemática básica Ejemplos

$y^{2} + \frac{7 y}{\sqrt{3}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{7 y}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y^{2} + \frac{7 y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Multiplica $\frac{7 y}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{3^{1}} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$y^{2} + \frac{7 y \sqrt{3}}{3} - \frac{368}{3} = 0$

Paso 2

Multiplica por el mínimo común denominador $3$ , luego simplifica.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y^{2} + 3 (\frac{7 y \sqrt{3}}{3}) + 3 (- \frac{368}{3}) = 0$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$3 y^{2} + 3 (\frac{7 y \sqrt{3}}{3}) + 3 (- \frac{368}{3}) = 0$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} + 7 y \sqrt{3} + 3 (- \frac{368}{3}) = 0$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{368}{3}$ al numerador.

$3 y^{2} + 7 y \sqrt{3} + 3 (\frac{- 368}{3}) = 0$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 y^{2} + 7 y \sqrt{3} + 3 (\frac{- 368}{3}) = 0$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} + 7 y \sqrt{3} - 368 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 7 \sqrt{3}$ y $c = - 368$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{{(7 \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 368)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la regla del producto a $7 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{7^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{49 {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{49 \cdot 3 - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.3.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{49 \cdot 3 - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.4

Multiplica $49$ por $3$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{147 - 4 \cdot 3 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.5

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 368$ .

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{147 - 12 \cdot - 368}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.5.2

Multiplica $- 12$ por $- 368$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{147 + 4416}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6

Suma $147$ y $4416$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{4563}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.7

Reescribe $4563$ como $39^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $1521$ de $4563$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{1521 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe $1521$ como $39^{2}$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm \sqrt{39^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm 39 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{- 7 \sqrt{3} \pm 39 \sqrt{3}}{6}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{16 \sqrt{3}}{3}, - \frac{23 \sqrt{3}}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{16 \sqrt{3}}{3}, - \frac{23 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$y = 9.23760430 \dots, - 13.27905619 \dots$